最近阅读了一篇介绍 Lissajous 轨道借助不变流形来规避日食的论文，《Eclipse Avoidance for Lissajous Orbits Using Invariant Manifolds》，虽然是 2004 年发表的，但是思路巧妙、方法可行、结果完整。原文涉及到繁琐的数学推导，不过推导过程被作者写的很省略，往往用一句 after some cumbersome algebra 带过，所以读起来是很吃力的。那么这篇笔记就是详细地还原一下那些 cumbersome algebra，供以后参考。

圆型限制性三体问题

动力学方程：

其中，，，。

圆型限制性三体问题有 5 个平动点。其中 3 个在 轴上，称为共线平动点。另外 2 个称为三角平动点。

这里只关注这 3 个共线平动点，它们分别满足：

共线平动点附近运动的线性化

记航天器的位置矢量 ，平动点的位置为 ，那么航天器相对平动点的位置矢量 ，更进一步有：

为了方便书写，给出矢量形式的动力学方程：

而

所以充分利用上述几个 与 的关系，可以得到关于 的动力学方程：

---

平动点对应的 ，接下来对上式在 附近做线性化处理。对上式的非线性项在 处 Taylor 展开，得到

由于研究平动点附近的运动，所以 是小量，故二阶及二阶以上的量 也是小量，可以忽略。

另外，由于

因此

经过以上处理，得到了在 附近的线性微分方程：

---

把 写成分量的形式：

其中，，，。根据 的表达式，可以计算出各偏导数的具体形式：

把共线平动点满足的条件代入，得到

这里 是常数。把上式代回到线性微分方程，得到共线平动点附近运动的线性微分方程的分量形式：

线性化方程的求解

观察线性微分方程，很显然， 和 方向的运动耦合， 方向的运动是解耦的。

方向的特征值

方向的特征方程

即

方程有 4 个解

因此， 方向的两对特征值分别为 ，，其中

方向的特征值

方向的特征方程

方程有 2 个解

因此， 方向的一对特征值为 ，其中 。

解的构造

根据常微分方程解的理论，可以把 和 构造成

其中 是任意常数。把 代入线性微分方程的第一项，得到

解得

记

则

求解完毕。

解的变形

把三角函数的项合并：

其中

Lissajous 轨道

选择 ，得到 Lissajous 轨道：

三维轨迹如下

施加 方向脉冲

因为 方向的运动简单，故先行介绍。在时刻 施加 方向的速度脉冲 。认为脉冲是瞬间完成的，不改变位置，即 。

脉冲对振幅的影响

记施加脉冲前的振幅为 和 ，施加脉冲后变为 和 。那么

作差，得到

解得

故施加脉冲后 方向振幅为：

据此，可以解出 满足的条件：

保持振幅不变

下面考虑施加脉冲却不改变振幅的情况，即 ，代入上式，得到

第二个解相当于没有脉冲，振幅当然不会改变，所以舍掉。

振幅不变时相位如何改变

把振幅不变的条件代入 和 的表达式

通过对比，可以发现

或者

这意味着：只要设定好相位改变量，就可以确定何时施加脉冲，进而又可以把脉冲的大小确定出来。这就是规避日食的原理。

施加 平面内脉冲

在时刻 施加 平面内的速度脉冲 。

脉冲对振幅的影响

联立求解

太复杂了，借助 Mathematica 求解：

整理一下

记

因为施加脉冲之前，航天器在 Lissajous 轨道上，因此对于 有

那么以下几个关系成立

进一步

则

上式定量地确定了脉冲 对振幅 的影响。

稳定流形

是不稳定运动方向的系数，令

考虑到

因此

变形为

这是由不稳定运动方向的系数 所导出的推论，它把运动的自由度减小了 1。

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另外，施加脉冲后，如果想要保持上述条件，即

那么必须使得下式成立：

这说明 和 正交，可以构造成：

因为 是单位向量，所以 表示脉冲的大小，另外还可以发现脉冲的方向始终是固定的。

稳定流形情况下脉冲对振幅的影响

把上述 的表达式代入 的表达式：

其中

解得

振幅不变时相位如何改变

下面考虑施加脉冲却不改变振幅的情况，即 ，那么

备注：和 方向脉冲同理， 舍掉了。

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效仿 方向脉冲的情况，可以解出 的值。借助 Mathematica 求解：

整理一下

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把 代入上式，得到

通过对比，可以发现

或者

只要设定好相位改变量，就可以确定何时施加脉冲，进而可以确定脉冲大小，而脉冲方向是固定的。这就是施加 方向脉冲规避日食的原理。

有效相平面

原文定义了有效相平面的概念，令

以 为横坐标，以 为纵坐标，随着时间 的增加，图像长下面的样子：

把 Lissajous 轨道上的每一个状态映射到了有效相平面上的一点。

规避日食

通过以上分析，发现施加脉冲可以调整 Lissajous 轨道的相位，且可以不改变其振幅，那么这个特性很容易应用在规避日食上。日食区域可以用下面的形式描述：

因为

所以日食区域的边界就是：

在有效相平面上它是一个椭圆。

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下图中，A 代表航天器在有效相平面上的初始位置，如果不干预，它将进入日食区域。通过在 B 处施加 方向的脉冲，可以把 调整到 C 处，进而躲避日食区域。

施加 方向的脉冲原理相同。